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已知函数,其中且. (Ⅰ)讨论的单调区间; (Ⅱ)若直线的图象恒在函数图像的上方...

已知函数,其中.

讨论的单调区间;

若直线的图象恒在函数图像的上方,求的取值范围;

若存在,使得,求证:.

 

(I)在是增函数,在是减函数;(II);(III)证明见解析. 【解析】 试题分析:(I)求函数的导数,利用函数的单调性与导数的关系,即可求解函数的单调区间;(II)根据直线的图象恒在函数图像的上方,转化为恒成,即可求解的取值范围;(III)利用函数的单调性和函数零点之间的关系,构造函数利用函数的单调性即可证明结论. 试题解析:(Ⅰ)的定义域为. 期导数…………………1分 ①当时,,函数在上是增函数;…………2分 ②当时,在区间上,;在区间上,. 所以在在是增函数,在是减函数,………………4分 (Ⅱ)当时,取,则,不合题意. 当时,令,则………………6分 问题化为求恒成立时的取值范围. 由于…………………7分 ∴在区间上,;在区间上, ∴的最小值为, 所以只需,即 ∴即…………9分 (Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以 构造函数 ∴…………………11分 则,所以函数在区间上为减函数. ∵,则 于是,又,, 由在上减函数可知,即…………14分 考点:导数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题,其中解答中涉及到导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值,以及函数的恒成立问题的求解,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与构造思想的应用,本题的解答中合理应用函数的导数和函数的单调性和极值、最值之间的关系是解答的关键,试题综合性比较强,属于中档试题.  
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考点分析:
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如图,在四棱锥中,底面为菱形,,的中点.

(1),求证:

(2),且,点在线段上,试确定点的位置,使二面角大小为,并求出的值.

 

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已知函数,其中.

是函数的极值点,求的值;

在区间上单调递增,求的取值范围;

 

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如图,在直三棱柱中,的中点.

⑴求证:

⑵求二面角的余弦值;

 

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已知函数.

在区间上的最大值;

⑵若函数区间上存在递减区间,求实数的取值范围.

 

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已知函数,且函数在区间内取得极大值,在区间内取得极小值,则的取值范围为          .

 

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