(I)在是增函数,在是减函数;(II);(III)证明见解析.
【解析】
试题分析:(I)求函数的导数,利用函数的单调性与导数的关系,即可求解函数的单调区间;(II)根据直线的图象恒在函数图像的上方,转化为恒成,即可求解的取值范围;(III)利用函数的单调性和函数零点之间的关系,构造函数利用函数的单调性即可证明结论.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为.
期导数…………………1分
①当时,,函数在上是增函数;…………2分
②当时,在区间上,;在区间上,.
所以在在是增函数,在是减函数,………………4分
(Ⅱ)当时,取,则,不合题意.
当时,令,则………………6分
问题化为求恒成立时的取值范围.
由于…………………7分
∴在区间上,;在区间上,
∴的最小值为,
所以只需,即
∴即…………9分
(Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以
构造函数
∴…………………11分
则,所以函数在区间上为减函数.
∵,则
于是,又,,
由在上减函数可知,即…………14分
考点:导数的综合应用.
【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题,其中解答中涉及到导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值,以及函数的恒成立问题的求解,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与构造思想的应用,本题的解答中合理应用函数的导数和函数的单调性和极值、最值之间的关系是解答的关键,试题综合性比较强,属于中档试题.