Question

已知函数，其中且.

（Ⅰ）讨论的单调区间；

（Ⅱ）若直线的图象恒在函数图像的上方，求的取值范围；

（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.

Answer

（I）在是增函数，在是减函数；（II）；（III）证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）求函数的导数，利用函数的单调性与导数的关系，即可求解函数的单调区间；（II）根据直线的图象恒在函数图像的上方，转化为恒成，即可求解的取值范围；（III）利用函数的单调性和函数零点之间的关系，构造函数利用函数的单调性即可证明结论.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为.

期导数…………………1分

①当时，，函数在上是增函数；…………2分

②当时，在区间上，；在区间上，.

所以在在是增函数，在是减函数，………………4分

（Ⅱ）当时，取，则，不合题意.

当时，令，则………………6分

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于…………………7分

∴在区间上，；在区间上，

∴的最小值为，

所以只需，即

∴即…………9分

（Ⅲ）由于当时函数在上是增函数，不满足题意，所以

构造函数

∴…………………11分

则，所以函数在区间上为减函数.

∵，则

于是，又，，

由在上减函数可知，即…………14分

考点：导数的综合应用.

【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与构造思想的应用，本题的解答中合理应用函数的导数和函数的单调性和极值、最值之间的关系是解答的关键，试题综合性比较强，属于中档试题.