Question

设椭圆的左、右焦点分别是，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图，若抛物线与轴的交点为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于点、两点，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，得，再由，，得，即可求出椭圆的，即可求得椭圆的方程；（2）设，表示过点的抛物线想的切线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示传线段的长度，再求出点到直线的距离为，表示传的面积，由于其是参数的函数，利用函数的知识求出其最大值，即可得到面积的最大值.

试题解析：⑴由题意可知，则，故.

令得即，则，，故.

所以，于是椭圆的方程为

⑵设，由于知直线的方程为：.即.

代入椭圆方程整理得：，

，

，，

故.

设点到直线的距离为，则

，所以，的面积

.

当时取到“＝”，经检验此时，满足题意.

综上可右，的面积的最大值为.

考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合应用.

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的综合应用，解答的关键是利用抛物线的方程求出椭圆的方程中的参数值，以及利用抛物线上的点的切线方程与椭圆联立，利用弦长公式与点到直线的距离公式分别求出三角形的底边边长与高，表示三角形的面积，利用函数的知识求解面积的最值，试题综合性强，运算量大，要避免运算出错和变形出错，属于难题.