Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，设，若存在，，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，）

Answer

（I）当时，的减区间为，增区间，当时，的减区间为；当时，的减区间为，，增区间为；（II）.

【解析】

试题分析：（I）先求出函数的定义域和，然后解关于的不等式，即可分类讨论得到函数的单调区间；（II）由（I）可得时函数在上单调递减，把存在，，使，转化为上的最大值大于的最小值，进而转化为在的上的最大值、最小值.

试题解析：（Ⅰ），.…………………1分

令

①时，，的减区间为，增区间为.…………2分

②当时，

所以当时，，，在区间上单调递减.……………………4分

当时，，，

,

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，………………7分

所以当时，的减区间为，增区间.

当时，的减区间为.

当时，的减区间为，

增区间为.…………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为，………………10分

，令，得.

时，，单调递减，

，，单调递增，………………12分

所以在上的最小值为，……………13分

由题意可知，解得…………14分

所以

考点：函数的综合应用问题.

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，一元二次不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想和分类讨论思想的应用，此类问题的解答中，合理应用导数与函数的关系和正确转化为函数的性质的应用是解答的关键，试题有一定难度，属于难题.