Question

已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求实数，的值；

（2）判断的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论．

Answer

（1），；（2）单调递减，证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由函数定义域为且是奇函数，得到对于任意恒成立，列出方程，即可求解的值；（2）由（1）可得函数的解析式为，在定义域上为单调减函数，根据函数的单调性的定义即可作差证明．

试题解析：（1）因为定义域为且是奇函数，

故对于任意恒成立，

即有对于任意恒成立，

于是有解得或，

又的定义域为，所以，故所求实数，的值分别为，．

（2）由（1）可得函数的解析式为，在定义域上为单调减函数．

用函数的单调性定义证明如下：

在定义域上任取两个自变量的值，，且，

则，

∵，∴，

又，，故有，即有，

因此，根据函数单调性的定义可知，函数在定义域上为减函数．

考点：函数的奇偶性与单调性的定义．