Question

对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：

①在上是单调函数；

②当定义域是时，的值域也是．

则称是该函数的“等域区间”．

（1）求证：函数不存在“等域区间”；

（2）已知函数（，）有“等域区间”，求实数的取值范围．

Answer

（1）函数不存在“等域区间”；（2）．

【解析】

试题分析：（1）设是已知函数定义域的子集，得或，得函数在上单调递增，由是已知函数的“等域区间”，得无实数根，即可证明结论；（2）设是已知函数定义域的子集，得函数在上单调递增，根据题意得的同号的相异实数根，利用二次函数的性质，即可求解实数的取值范围．

试题解析：（1）设是已知函数定义域的子集．

∵，∴，或，

故函数在上单调递增．

若是已知函数的“等域区间”，则

故、是方程的同号的相异实数根．

∵无实数根，

∴函数不存在“等域区间”．

（2）设是已知函数定义域的子集，

∵，∴或，

故函数在上单调递增．

若是已知函数的“等域区间”，则

故、是方程，即的同号的相异实数根．

∵，∴，同号，故只需，

解得，

∴实数的取值范围为．

考点：函数的定义域、值域及其求法；集合的关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的定义域、值域及其求法，集合之间的关系，本题的解答中主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性，函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，以及对创新问题的解答能力，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题综合性强，属于中档试题．