Question

已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点．

（1）求证：的面积为定值；

（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知是直角三角，圆心，，故面积为为定值；（2）由题意可知的中垂线是斜率，由，得.则即圆半径其长为．故圆的方程是.

试题解析：

（1）因为，圆与轴交于点，与轴交于点，所以，是直角三角，又圆心，所以，的面积为为定值．

（2）直线与圆交于点，且，所以，的中垂线是斜率，由，得，则即圆半径其长为．故圆的方程是．

考点：直线与圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，垂直平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法.第一问由于为直线，所以是直角三角，由圆心和截距求得三角形的面积固定为.第二问直线与圆相交与两点，根据，这个就是垂直平分线上的点，到两端的距离相等，由此可求得圆心的坐标和半径.