Question

如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上．

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

Answer

（1）或者；（2）.

【解析】

试题分析：（1）联立两直线方程求得圆心为，圆的半径为，故圆的方程为.由于斜率存在，故设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求得或者；（2）依题意设设圆心为，，利用代入点的坐标化简得.由于两圆相交，根据圆与圆的位置关系列不等式，可求得的取值范围为：

试题解析：

（1）由得圆心为，∵圆的半径为1，

∴圆的方程为：，

显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即，

∴，∴，∴，∴或者，

∴所求圆的切线方程为：或者即或者．

（2）【解析】
∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心为，

则圆的方程为：，

又∵，∴设为，则整理得：设为圆，

∴点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，

∴，

由得，

由得，

终上所述，的取值范围为：．

考点：直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.第一问由于圆心同时在两条直线上，所以联立这两条直线的方程，求出交点坐标即为圆心的坐标，进而求得圆的方程，接着利用直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得切线的斜率.第二问方法是设出点的坐标后，利用题目所给条件，可求得的轨迹方程为圆的方程，由于两个圆有公共点，所两圆相交，利用圆与圆的位置关系可求得的取值范围.