Question

已知函数,为自然对数的底数.

（1）当时，试求的单调区间；

（2）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围.

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数求解；（2）依据题设进行转化,构造函数运用导数知识探求.

试题解析：

（1）函数的定义域为

,.

当时，对于

恒成立，所以，若，若 ，

所以的单调增区间为 ，单调减区间为 .

（2）由条件可知，在上有三个不同的根，

即在上有两个不同的根，且，

令，则，

当单调递增，单调递减，

的最大值为

，而.

考点：导数与函数单调性关系等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.