Question

已知函数,为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明: 为函数的导函数）.

Answer

（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数与函数的单调性的关系与分类整合思想求解；（2）依据题设构造函数运用导数知识推证.

试题解析：

（1）由题可知，. ①当时，

令，则，令，则.

②当时，.③当时，令，则，令，则,综上，①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增；③当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）

,,当时，

在上单调递增，与轴不可能有两个交点，故.

当时，令，则；令，则.

故在上单调递增，在上单调递减.不妨设，

且.要证，需证，

即证，

又，所以只需证.

即证：当时，.

设，

则在上单调递减，

又，故.

考点：导数与函数的单调性的关系及分类整合思想化归转化思想等有关知识和思想方法的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法则及分类整合思想,通过对实数的讨论及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想,分析推证不等式问题的成立,从而使得不等式简捷巧妙获证.