Question

已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数的几何意义求解；（2）依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行分析探求.

试题解析：

（1）当时，，则，曲线在点处的切线方程为.

（2）由题 .令,则.①当时，

在时，，从而在上单调递增，，不合题意.②当时，令，可解得.（i）若，即，在时，在上为减函数，符合题意.（ii）若，即，当时，在时，在上单调递增，从而时，不合题意.综上所述，若对恒成立，则.

考点：导数的几何意义及导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是切线方程,求解时运用求导法则及导数的几何意义,运用直线的点斜式方程求得方程为；第二问的求解则通过构造函数,运用求导法则及转化化归思想分类整合,分析推证不等式问题的成立的条件,从而求出实数的取值范围,从而使得问题获解.