Question

如图1在△中，，、分别为线段、的中点，，．以为折痕，将△折起到图2的位置，使平面⊥平面，连接，，设是线段上的动点，满足．

（1）证明：平面⊥平面；

（2）若二面角的大小为，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知得，平面，从而，由，得，由此能证明平面⊥平面；（2）以为坐标原点，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，又知平面的法向量为，由此利用空间向量夹角余弦公式余弦公式能求出.

试题解析：（1）∵平面平面，，

∴平面，∴，

∵，分别为中点，

∴，，

在直角三角形中，．

∴，可得，

∴平面，

又平面，

∴平面⊥平面．

（2）以为坐标原点，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

各点坐标分别为，，，，，，

∵，∴，

∴，

设平面的法向量为，，，

∴取，

又∵平面的法向量为，

∴，化为，解得，

又∵，∴．

考点：1、平面与平面垂直的性质定理及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.

【方法点晴】本题主要考查平面与平面垂直的性质定理及判定定理、空间向量夹角余弦公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.