Question

已知椭圆：（）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为可得从而求得的值，进而可得求椭圆的方程；（2）直线的方程为，由点到直线距离公式可得与椭圆方程联立可得，再根据弦长公式可得 ，从而可得，进而可得△面积的最大值.

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，

∴所求椭圆方程为．

（2）设，，

①当⊥轴时，为，代入，得，∴；

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，

由已知，得，

把代入椭圆方程，整理，

，，，

∴，

当时，；

当时，，

当且仅当，即时等号成立．

综上所述．

∴当最大时，△面积取最大值．

考点：1、待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式；2、点到直线距离公式及基本不等式求最值.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式、点到直线距离公式及基本不等式求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.