Question

定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为（   ）

A．   B．   C．   D．

Answer

A

【解析】

试题分析：因为定义在上的奇函数，当时，，所以图象关于原点对称，分段画出时的函数图象，在关于原点对称即可的的图象，如图. 的所有零点之和既是与交点横坐标的和，由图知，与共有五个交点，左边两根之和为，右边两根之和为，中间一根满足，可得，所以的所有零点之和为，故选A.

考点：1、分段函数的解析式及图象；2、函数的奇偶性、方程的根与零点的关系及数形结合思想的应用.

【方法点睛】判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，有时可结合函数的图象辅助解题.本题的解答就利用了方法（3）.