Question

已知动圆与圆：，圆都相内切，即圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于，两个不同的点．

（1）求曲线的方程；

（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由．

Answer

（1）；（2）能，.

【解析】

试题分析：（1）动圆与圆：，圆都相内切，可得圆心的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中，从而可求得曲线的方程；（2）设，，，直线：，则直线：，与椭圆方程联立利用韦达定理、弦长公式及两点间距离公式可求得.

试题解析：（1）设圆心的坐标为，半径为,

∴∴，

∴圆心的轨迹为以、为焦点的椭圆，其中，，

∴，，，

故圆心的轨迹：．

（2）设，，，直线：，则直线：，

由可得∴

，

由可得，

∴，，

∴ ，

∴．

∴和的比值为一个常数，这个常数为．

考点：1、椭圆的定义及标准方程；2、韦达定理、弦长公式及两点间距离公式.

【方法点晴】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、韦达定理、弦长公式及两点间距离公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（1）就是利用方法②求椭圆的轨迹方程的.