Question

已知函数（）在点处的切线方程为．

（1）求、的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由，得，根据解得，；（2）恒成立等价于恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，可求得，因而可得.

试题解析：（1）∵，∴，

∵直线的斜率为，且过点，

∴即解得，．

（2）由（1）得．

当时，恒成立，即，等价于，

令，则，

令，则．

当时，，函数在上单调递增，故，

从而，当时，，即函数在上单调递增，

故，

因此，当时，恒成立，则．

所以所求的取值范围是．

考点：1、利用导数求曲线切线斜率；2、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线斜率、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求得的最大值.