Question

抛物线的顶点是双曲线：的中心，的焦点与双曲线的右焦点相同．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线过点，交抛物线于，两点，探究是否存在平行于轴的直线，被以为直径的圆所截得的弦长为定值？若存在，求出直线和弦长；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）存在,弦长为.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用双曲线的几何性质求解；（2）依据题设中的抛物线方程运用直线与圆的位置关系探求.

试题解析：

（1）双曲线的中心在原点，右焦点为，

则抛物线的方程为．

（2）假设存在直线：满足题意，

设，则，圆心为，

过圆心作的垂线，垂足为，直线与圆的一个交点为，则弦长，

，

当时，，直线为，被以为直径的圆所截得的弦长为定值．

考点：双曲线的几何性质及抛物线的几何性质直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用和抛物线的定义,求得抛物线的方程为；第二问的求解过程中,先设点,确定圆心坐标为,再求得当时，,此时为弦长为,使得问题获解.本题对运算求解能力和推理论证能力的要求较高.