Question

已知函数，．

（1）求的最小值；

（2）证明：当时，．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设构设函数运用正弦导数推证.

试题解析：

（1）【解析】
，

设，则，

当时，，即为增函数，

则，所以在上是增函数，

因此．

（2）证明：由（1）得，当得，当时，，即，

，即，

所以．

下证即可得结论．

令，则，

，当时，，

所以是增函数，且，

所以是增函数，，可得，即，

所以结论成立．

考点：运用导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式,为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求的最小值的最小值,求解时分类对函数求导,分析探求出其最小值为；第二问先分析转化,再构造函数,运用导数的知识,从而使得不等式简捷巧妙获证.