Question

已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线交于两点，且直线恰好通过椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过椭圆右焦点的直线和椭圆交于两点，点在椭圆上，且，

其中为坐标原点，求直线的斜率．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由知，可设，其中，把，代入椭圆方程中解得，故椭圆方程为

（2）知直线的斜率不为零，故可设直线方程为，设，由已知，从而，由于均在椭圆上，故有：，三式结合化简得

，把直线方程为和椭圆方程联立并结合韦达定理，即可求得的值

试题解析：（1）由知，可设，其中

由已知，代入椭圆中得：即，解得

从而，

故椭圆方程为

（2）设，由已知

从而，由于均在椭圆上，故有：

第三个式子变形为：

将第一，二个式子带入得： （*）

分析知直线的斜率不为零，故可设直线方程为，与椭圆联立得：

，由韦达定理

将（*）变形为：

即

将韦达定理带入上式得：，解得

因为直线的斜率，故直线的斜率为

考点：椭圆标准方程；直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】利用待定系数法即可求得椭圆的标准方程；解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．三角形面积公式的选用也是解题关键.