Question

已知函数

（1）若，且在上单调递增，求实数的取值范围

（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）实数是存在的，且.

【解析】

试题分析：（1）原题等价于在时恒成立，即恒成立，分离参数得，只需求得函数在区间值域即可；

（2）利用反证法假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号，故，即，利用导函数求得函数的最小值，最后令最小值等于1，可求出参数的范围.

试题解析：（1）

由已知在时恒成立，即恒成立

分离参数得，

因为

所以

所以正实数的取值范围为：

（2）假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号

故，即

从而这样的实数必须为正实数，当时，由上面的讨论知在上递增，，此时不合题意，故这样的必须满足，此时：

令得的增区间为

令得的减区间为

故

整理得

即，设，

则上式即为，构造，则等价于

由于为增函数，为减函数，故为增函数

观察知，故等价于，与之对应的

综上符合条件的实数是存在的，且

考点：利用导函数研究函数的单调性；存在性问题；恒成立问题.

【名师点睛】对恒成立与存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论.