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已知函数 (1)若,且在上单调递增,求实数的取值范围 (2)是否存在实数,使得函...

已知函数

1,且上单调递增,求实数的取值范围

2是否存在实数,使得函数上的最小值为?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.

 

(1);(2)实数是存在的,且. 【解析】 试题分析:(1)原题等价于在时恒成立,即恒成立,分离参数得,只需求得函数在区间值域即可; (2)利用反证法假设存在这样的实数,则在时恒成立,且可以取到等号,故,即,利用导函数求得函数的最小值,最后令最小值等于1,可求出参数的范围. 试题解析:(1) 由已知在时恒成立,即恒成立 分离参数得, 因为 所以 所以正实数的取值范围为: (2)假设存在这样的实数,则在时恒成立,且可以取到等号 故,即 从而这样的实数必须为正实数,当时,由上面的讨论知在上递增,,此时不合题意,故这样的必须满足,此时: 令得的增区间为 令得的减区间为 故 整理得 即,设, 则上式即为,构造,则等价于 由于为增函数,为减函数,故为增函数 观察知,故等价于,与之对应的 综上符合条件的实数是存在的,且 考点:利用导函数研究函数的单调性;存在性问题;恒成立问题. 【名师点睛】对恒成立与存在性问题有三种思路,思路1:参变分离,转化为参数小于某个函数(或参数大于某个函数),则参数该于该函数的最大值(大于该函数的最小值);思路2:数形结合,利用导数先研究函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围,若原函数图像不易做,常化为一个函数存在一点在另一个函数上方,用图像解;思路3:分类讨论.  
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