Question

已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，和平面内一点，过点任作直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，，试求满足的关系式.

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为离心率，所以，又以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，所以，再结合，求得，，即求得椭圆标准方程；

（2）①当直线斜率不存在时，直线，直线与椭圆的交点，，所以，又，所以，所以的关系式为.②当直线的斜率存在时，设点，设直线，联立椭圆整理得：，根系关系略，所以化简得，结合韦达定理得，所以，所以的关系式为.

试题解析：（1）因为离心率，所以，

又因为以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，

所以，即

因为，

所以

所以椭圆标准方程；

（2）①当直线斜率不存在时，由，解得，不妨设，，

因为，所以，所以的关系式为.

②当直线的斜率存在时，设点，设直线，联立椭圆整理得：，根系关系略，所以

所以，所以的关系式为.

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及设直线方程问题，一定要注意直线的斜率是否存在，往往会漏解．