Question

已知．

（1）当为常数，且在区间变化时，求的最小值；

（2）证明：对任意的，总存在，使得 ．

Answer

（1）；（2）证明略.

【解析】

试题分析：（1）当为常数时，则函数即为关于的函数，求出此函数在区间的单调性，即可求得函数的最小值；

（2）设，先求函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可证明.

试题解析：（1）当为常数时，

，

，

当，在上递增，其最小值

（2）令

由

①当，即时，在区间内单调递减，

，

所以对任意在区间内均存在零点，即存在，使得．

②当，即时，在内单调递减，在内单调递增，

所以时，函数取最小值，

又，

若，则，，

所以在内存在零点；

若，则，所以在内存在零点，

所以，对任意在区间内均存在零点，即存在，使得．

结合①②，对任意的，总存在，使得．

考点：导函数的应用；函数的零点.

【名师点睛】此题是一道多元变量问题，在第一问中已知变量的范围，求最小值，实际上就是把作为自变量，此时这个函数是关于的函数，求导求得单调性即可得得最小值；对于第二问题，可以利用导函数求得单调性，然后求得极值和端点值，再利用零点存在性定理即可判定函数零点的存在.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.