Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的距离的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是线段上异于的一个定点（为坐标原点），是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得，并说明理由.

Answer

（1）（2）当时，，即存在这样的直线；当时，不存在，即不存在这样的直线.

【解析】

试题分析：（I）根据题意建立关于a、b、c的方程组，解之可得a= 且b=1，从而得到该椭圆的标准方程；（II）根据题意设直线l其方程为y=k（x-1），直线方程与椭圆消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得A 、B 满足，从而得到AB的中点为M ，由|AC|=|BC|得CM⊥AB，利用斜率之积为-1建立关于k、m的关系式，整理后加以讨论即可得答案

试题解析：(1) ∵，∴，∴,

∴椭圆的方程为.

(2) 由（1）得，∴，假设存在满足题意的直线，设为，

代入，得.

设，则，

∴.

设的中点为，则.

∵，∴，即，

∴，

∴当时，，即存在这样的直线；

当时，不存在，即不存在这样的直线.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；数列与不等式的综合；椭圆的标准方程