Question

如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

①当时，S为四边形

②当时，S为等腰梯形

③当时，S与的交点R满足

④当时，S为六边形

⑤当时，S的面积为

Answer

①②③⑤

【解析】

试题分析：如图当CQ=时，即Q为中点，此时可得PQ∥，AP==，

故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；

由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；

当CQ=时，如图，

延长DD1至N，使D1N=，连接AN交于S，连接NQ交于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故③正确；

由上可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；

⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，

可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=，故正确．

考点：平面与平面之间的位置关系