Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a

（1）求证：PD⊥平面ABCD；

（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意及图形利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可得PD⊥AC，又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，由线面垂直的判定定理得到AC⊥平面PBD，进一步利用面面垂直的判断证明；

试题解析：（1）∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，

∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．

同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD．

（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PDB．

同时，AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定