Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2.

（1）求证：DE∥平面A₁CB；

（2）求证：A₁F⊥BE；

（3）线段A₁B上是否存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ？说明理由．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析（3）线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ

【解析】

试题分析：（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ

试题解析：（1）证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥BC.

又因为DE⊄平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB.

（2）证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.

所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.

而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，

所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.

（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEP.

由（2）知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定