Question

设函数.

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）2（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）

【解析】

试题分析：（1）当m=e时，＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，则h（1）=，

h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围

试题解析：（1）由题设，当时，

易得函数的定义域为

当时，，此时在上单调递减；

当时，，此时在上单调递增；

当时，取得极小值

的极小值为2

（2）函数

令，得

设

当时，，此时在上单调递增；

当时，，此时在上单调递减；

所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，

的最大值为

又，结合y=的图像（如图），可知

①当时，函数无零点；

②当时，函数有且仅有一个零点；

③当时，函数有两个零点；

④时，函数有且只有一个零点；

综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.

（3）对任意恒成立，等价于恒成立

设，在上单调递减

在恒成立

恒成立

（对，仅在时成立），的取值范围是

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值