Question

已知函数f（x）＝2^x－.

（1）若f（x）＝2，求x的值；

（2）若2^tf（2t）＋mf（t）≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1） x＝log2（1＋） （2） [－5，＋∞）

【解析】

试题分析：（1）化简f（x）=0，然后，针对x进行讨论；（2）由2tf（2t）＋mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，得对于t∈[1，2]恒成立，整理后分离参数m，利用配方法求出含有变量t的函数的最大值得答案

试题解析：（1）当x＜0时，f（x）＝0；当x≥0时，f（x）＝2x－. ...........3分

由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，

解得2x＝1±. ....................5分

∵2x＞0，∴x＝log2（1＋）． ....................6分

（2）当t∈[1,2]时，2t＋m≥0， ..........7分

即m（22t－1）≥－（24t－1）．

∵22t－1＞0，∴m≥－（22t＋1）．∵t∈[1,2]，................9分

∴－（1＋22t）∈[－17，－5]，.....................10分

故m的取值范围是[－5，＋∞）．................12分

考点：函数恒成立问题；函数的值