Question

设数列各项为正数，且，.

（Ⅰ）证明：数列为等比数列；

（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使成立时的最小值.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明数列为等比数列的基本方法为定义法，即求证数列相邻两项的比值为同一个不为零的常数：，其中需要说明及

（Ⅱ）由于为一个等比数列，所以根据等比数列求和公式得，因此不等式转化为，解得

试题解析：（Ⅰ）由已知，，则，

因为数列各项为正数，所以，

由已知，，

得.

又，

所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列.……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

，

则.

不等式即为，

所以，

于是成立时的最小值为6.……………12分

考点：等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和

【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

等比数列的判定方法

(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列；

(2)等比中项法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列；

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.