Question

某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.

（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；

（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；

（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）希望顾客参加抽奖.（Ⅲ）400

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先确定从装有10个球的箱子中任摸一球的结果有10种，其中摸到红球的结果有4种，因此根据古典概型概率求法得（Ⅱ）比较与3次抽奖的数学期望的大小，由于3次抽奖是相互独立，所以可视为独立重复试验，其变量服从二项分布，由此可得数学期望为，即三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元.

（Ⅲ）求概率最大时对应的奖金：由于变量服从二项分布，所以作商得，，因此最大，即获得400元的现金

试题解析：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是

.……2分

（Ⅱ）设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则

，

所以.

由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的

均值为元.

由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.……………7分

（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为.

由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则.

于是，恰好次中奖的概率为

，.

从而，，

当时，；

当时，，

则最大.

所以，最有可能获得的现金奖励为元.

于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.………………12分

考点：随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望

【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.