Question

如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定与性质定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需结合平几知识进行：连接交于，则根据等腰三角形性质得，（Ⅱ）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解

试题解析：（Ⅰ）证明：连接交于，连接.

在正方形中，点是中点，点是中点，

所以，

所以，

所以在等腰中，是的中点，且，

因此在等腰中，，

从而，

又，

所以平面，

即平面.…………………6分

（Ⅱ）方法一：

在正方形中，连接，交于，设正方形的边长为2，

由于点是中点，点是中点，

所以，

于是，

从而，

所以，

于是，在翻折后的几何体中，为二面角的平面角，

在正方形中，解得，，

所以，在中，，，，

由余弦定理得，

所以，二面角的余弦值为.………………………………12分

方法二：

由题知两两互相垂直，故以为原点，向量方向分别为，，轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.

设正方形边长为2，则，，，.

所以，.

设为平面的一个法向量，

由得，

令，得，

又由题知是平面的一个法向量，

所以.

所以，二面角的余弦值为.………………………………12分

考点：空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.