Question

设，函数，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若在区间内恒成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得，分别求导得（Ⅱ）由于，所以根据导函数是否变号进行讨论：当时，，在定义域内单调递增，当时，先增后减再增（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即的最小值大于零，先利用导数研究函数单调性：时，在区间内单调递减，满足条件；时，存在使得，且在时，单调递减，不满足条件

试题解析：（Ⅰ），

由，得.……………………………………2分

（Ⅱ），

当时，即时，，从而函数在定义域内单调递增，

当时，，此时

若，，则函数单调递增；

若，，则函数单调递减；

若时，，则函数单调递增.……………………6分

（Ⅲ）令，则.

，令，则.

当时，，从而单调递减，

令，得.

先考虑的情况，此时，；

又当时，单调递减，所以；

故当时，单调递增；

又因为，故当时，，

从而函数在区间内单调递减；

又因为，所以在区间恒成立.

接下来考虑的情况，此时，，

令，则.

由零点存在定理，存在使得，

当时，由单调递减可知，所以单调递减，

又因为，故当时.

从而函数在区间单调递增；

又因为，所以当，.

综上所述，若在区间恒成立，则的取值范围是.…………14分

考点：导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.