Question

过点作一直线与抛物线交于，两点，点是抛物线上到直线的距离最小的点，直线与直线交于点.

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）求证：直线平行于抛物线的对称轴.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）到直线距离最小的点，可根据点到直线距离公式，取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离

得当且仅当时取最小值，（Ⅱ）要证直线平行于抛物线的对称轴，就是要证两点纵坐标相等，设点 ，求出直线AP方程，与直线方程联立，解出点纵坐标为.同理求出直线AB方程，与抛物线方程联立，解出点纵坐标为.

试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为，则，

所以，点到直线的距离

.

当且仅当时等号成立，此时点坐标为.………………………………4分

（Ⅱ）设点的坐标为，显然.

当时，点坐标为，直线的方程为；

当时，直线的方程为，

化简得；

综上，直线的方程为.

与直线的方程联立，可得点的纵坐标为.

当时，直线的方程为，可得点的纵坐标为.

此时，

即知轴，

当时，直线的方程为，

化简得，

与抛物线方程联立，消去，

可得，

所以点的纵坐标为.

从而可得轴，

所以，轴.……………………………………13分

考点：抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系

【思路点睛】

解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明.其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.