Question

2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”,所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：

编号	1	2	3	4	5
	169	178	166	175	180
	75	80	77	70	81

（1）求乙厂生产的产品数量：

（2）当产品中的微量元素满足：，且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．

Answer

（1）35（2）14（3）

【解析】

试题分析：（1）根据分层抽样得乙厂生产的产品总数为（2）由频率估计概率得乙厂样品中优等品的频率为，因此乙厂生产的优等品的数量为（3）先确定随机变量取法，再分别求对应概率：，列表可得分布列，根据公式可求数学期望

试题解析：（1）乙厂生产的产品总数为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；．．．．．．．．．．．6分

（3）．

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

的分布列为

0

1

2

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

均值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：分布列与数学期望，分层抽样

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.