Question

如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证，而题中已知面面垂直平面侧面，因此先根据面面垂直性质定理，将其转化为线面垂直平面，其中为的中点，因而有，再根据直三棱柱性质得底面，因而有，结合线面垂直判定定理得侧面，因此得证（2）求二面角平面角，一般利用空间向量进行计算，先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，可得直线方向向量，列方程组求平面法向量，由线面角与向量夹角互余关系，结合向量数量积得，易得平面的一个法向量，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系，结合向量数量积得二面角大小

试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则，由平面侧面，且平面侧面，得平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

又平面，所以，因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

又，从而侧面，又侧面，故．．．．．．．．．．．6分

（2）

解法一：连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影．．．．．． 7分

∴即为直线与平面所成的角，则，在等腰直角中，，且点是中点，

∴，且，∴．．．．．．．．．．9分

过点作于点，连，由（1）知平面，则，且，

∴即为二面角的一个平面角，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

在直角中：，又，

∴，且二面角为锐二面角，∴，

即二面角的大小为．．．．．．．．．．．．． 12分

解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

如图所示，且设，则，

，设平面的一个法向量，由得：令，得，则，．．．．．．．．．．9分

设直线与平面所成的角为，则，得，解得， 即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得，∴锐二面角的大小为．．．．．．．．．．．．12分

考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.