Question

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程和函数的极值：

（2）若对任意，都有成立，求实数的最小值．

Answer

（1）切线方程为，函数在时，取得极小值（2）1

【解析】

试题分析：（1）根据导数几何意义得曲线在处的切线斜率等于，再根据，利用点斜式可得切线方程为，求函数极值，首先求导函数零点：，列表分析导函数符号变化规律，确定函数极值（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题：，再根据函数定义域讨论函数最值取法：

若，；

若，

试题解析：（1）因为，所以，

因为，所以曲线在处的切线方程为．．．．．．．．．．3分

由解得，则及的变化情况如下：

2

0

递减

极小值

递增

所以函数在时，取得极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由题设知：当时，，当时，，

若，令，则，

由于，显然不符合题设要求．．．9分

若，对，

由于，

显然，当，对，不等式恒成立，

综上可知，的最小值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：导数几何意义，利用导数求函数极值，利用导数求参数取值范围

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.