Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．

（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍后得到曲线．试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程：

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值．

Answer

（1），（为参数）（2）点，最大值为

【解析】

试题分析：（1）根据将直线极坐标方程化为直角坐标方程，根据图像伸缩变换得曲线的直角坐标方程，再根据椭圆参数方程得曲线的参数方程（为参数）（2）根据点到直线距离公式得点到直线的距离为

利用配角公式得，再根据正弦函数性质得最值及对应自变量的取值

试题解析：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵曲线的直角坐标方程为：，

∴曲线的参数方程为：（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）设点的坐标，则点到直线的距离为：

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴当时，点，此时．．．．．．．．．．．．．．．10分

考点：极坐标方程化为直角坐标方程，椭圆参数方程，点到直线距离