Question

已知点为抛物线的焦点，直线为准线，为抛物线上一点，（在第一象限），以点为圆心，为半径的圆与轴交于两点，且为正三角形．

（1）求圆的方程；

（2）设为上任意一点，过作抛物线的切线，切点为，判断直线与圆的位置关系．

Answer

(1)，或 ；(2)直线与圆相交或相切．

【解析】

试题分析：(1)由已知,设出圆的半径,写出点的坐标,代入抛物线方程中,求出半径,即可求出圆的方程；(2)设，由切线几何意义，求出以,为切点的切线方程,再得到直线的方程,利用点到直线距离公式求出距离,与圆的半径比较大小,得出结论．

试题解析:（1）由已知，设圆的半径为，因为为正三角形，，因为点在抛物线上，得即，解得或， 所以圆的方程为，或 ．

（2）因为准线为，设，因为，为切点的切线方程为：，即，因为切线过，得， ①

同理可得， ② 所以直线的方程为，即，圆心到直线距离，可得，所以时，

，直线与圆相切．时，直线与圆相交，所以直线与圆相交或相切． 同理可证，直线与圆相交或相切． 所以直线与圆，相交或相切．

考点：1．抛物线的简单性质；2．导数几何意义；3．点到直线距离公式．

【方法点睛】本题主要考查了解析几何中直线、圆、抛物线等基础知识,还考查了直线与圆、直线与抛物线位置关系,属于中档题． 在(1)中,利用为正三角形，求出点坐标,根据点在抛物线上,求出圆的半径；在(2)中,根据导数几何意义,得出切线斜率的表达式,比较以,为切点的切线方程,得到直线的方程,求出圆心到直线的距离与圆的半径,判断位置关系． 考查运算求解能力,数形结合思想．