Question

如图所示，已知是的直径，为圆上任意一点，过的切线分别与过两点的切线交于．求证：．

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：借助题设条件运用圆的几何性质及相似三角形的性质进行推证．

试题解析：

证明法一 连接，如图所示．

为的切线，

，．

又为的切线，

为直径，，．

．

，

．

．

，．

∽．

．

，．

法二 连接．

同上可证得．

切于，．

在中，由射影定理可得，

利用切线长定理，有，．

，，．

法三 如图所示，过作的垂线，垂足为．

切于，

，

，．

四边形为矩形，

．，，．

在中，利用勾股定理得：，

．

．

考点：圆的几何性质及相似三角形的性质等有关知识的综合运用．

【易错点晴】圆是平面几何中的重要代表曲线之一,也是高中数学的重要内容和高考必考的重要考点．本题以圆与直线的位置关系的条件为背景,考查的是圆的有关结论及直角三角形的性质等有关知识和方法的综合运用．解答时先依据题设运用直线与圆相切这一条件找出角之间的关系,构造相似三角形,进而运用相似三角形的对应边成比例推得线段之间的数量关系,从而使得问题巧妙获解．