Question

已知且，函数．

（1）求的定义域及其零点；

（2）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．

Answer

(1)，；(2)．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用对数的定义建立不等式求解；(2)依据题设运用分析转化法及分类整合思想进行探求．

试题解析：

（1）由得，，所以，函数的定义域为，

若，，所以，则函数的零点为；

（2）当时，由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，

所以，

若对任意，存在，使得，

所以只需满足即可，

则问题转化为在区间上恒成立，

对函数分情况讨论：

①当时，，符合题意；

②当时，函数图象开口向上，在区间上单调递增，此时，则，，所以；

③当时，函数图象开口向下，在区间上单调递减，此时，则，，所以；

综上所述，．

考点：对数的定义及分析转化法、分类整合思想等有关知识的综合运用．

【易错点晴】对数函数、二次函数等基本初等函数不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法．本题的第一问在求解时,先借助对数函数的定义建立不等式求出该函数的定义域,再运用零点的概念求出其零点；第二问的求解在求出两个函数的最值后,运用等价转化与化归的数学思想进行等价转化,从而将问题化为在区间上恒成立,再运用分类整合思想分析探求参数的取值范围．