Question

已知函数（为常数，是自然对数的底数）在点处取极值.

（1）求的值及函数的单调区间；

（2）设，其中为的导函数，证明：对任意，.

Answer

（1），增区间，减区间；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）借助题设运用分析转化法构造函数运用导数与函数的单调性之间的关系进行求解.

试题解析：

（1）由可得.……1分

而，即，解得；……2分

，令可得，

当时，；当时，.

于是在区间内为增函数；在内为减函数.……5分

（2），

当时，.……7分

当时，要证，

只需证，……8分

令

则

因此，当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以的最大值为，故.……10分

当时，

所以

所以

因此对任意，.……12分

考点：导数与函数的单调性之间的关系及分析转化法等有关知识的综合运用.

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的条件借助导数这一有效工具进行分析推证,从而使得不等式简捷巧妙获证.