Question

如图所示，已知圆的圆心在直线上，且该圆存在两点关于直线对称，又圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点．

（1）求圆的方程；

（2）当时，求直线的方程；

（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

Answer

(1) ；(2)或；（3）是定值，.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件求圆心与半径；(2)依据题设运用分类整合思想建立方程求解；(3)运用向量的坐标形式的运算进行分析探求.

试题解析：（1）由圆存在两点关于直线对称知圆心在直线上．由得，设圆的半径为，因为圆与直线：相切，所以，

所以圆方程为．

（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，连接，则，∵，∴．

由，得，∴直线的方程为，∴所求直线的方程为或．

（3）∵，∴，∴，

当直线与轴垂直时，得，则，又，

∴，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由解得，

∴，

∴，

综上所述，为定值．

考点：向量的坐标形式圆的标准方程及直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．