Question

已知椭圆：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆的左焦点，为左准线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，，当最小时，求点的坐标．

Answer

(1)；(2)或.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用椭圆的几何性质建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求.

试题解析：

（1）依题意解得,所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，，因为，故直线的方程为．

由整理得，所以

，，所以，

令（），则，可以证明当时，为减函数，当时，为增函数；所以当时，最小，所以当最小时，，即或，此时点的坐标为或．

考点：椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助直线与椭圆的位置关系建立关于的函数关系进行探求,从而使得问题获解.