Question

已知函数 (为自然对数的底数，）, (,),

⑴若，．求在上的最大值的表达式；

⑵若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；

⑶若，,求使得图像恒在图像上方的最大正整数．

Answer

(1)；(2) ；(3)．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想求解；(2)依据题设运用化归转化的数学思想进行探求；(3)依据题设构造函数,运用导数的知识求解．

试题解析：

(1)时，,

;

①当时，，在上为增函数，此时，

②当时，，在上为增函数，

故在上为增函数，此时…………………………………2分

③当时，，在上为增函数，在上为减函数，

若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，

此时………………………………5分

若，即时，在上为增函数，则此时，

综上所述： ………………………………6分，

（2），，

在上单调递减，在上单调递增，……………7分

在上恰有两个相异实根，

，

实数的取值范围是，…………………………………10分

（3）由题设：,，（*）

，故在上单调递减，在上单调递增，

（*），

设，则，

在上单调递增，在上单调递减，…………………………12分

而，

且，

故存在，使，

且时，，时，，

又，，

时，使的图像恒在图像的上方的最大整数………………14分．

考点：导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以两个函数解析式 (为自然对数的底数，）, (,)为背景,精心设置了两三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力．本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法并分类讨论的范围,借助导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则依据题设建立不等式组,通过解不等式组使得问题获解；(3)先依据题设将问题进行等价转化,从而将问题等价转化,然后构造函数,运用求导法则及转化化归思想分析推证,使得问题获解．