Question

如图,椭圆 ()的离心率是,过点(,)的动直线与椭圆相交于,两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的线段长为．

⑴求椭圆的方程:

⑵已知为椭圆的左端点,问: 是否存在直线使得的面积为?若不存在,说明理由,若存在,求出直线的方程．

Answer

(1)；(2)存在直线方程使得．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求．

试题解析：

（1）椭圆:的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，

当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为,

点在椭圆上,

，解得：，………………4分

椭圆的方程为………………………5分，

（2）当直线与轴平行时，不存在，…………………6分，

设直线的方程为，并设两点，，

联立，得，

其判别式，…………8分，

，，

，…………10分

假设存在直线，则有，

解得，负解删除，，……………………12分

故存在直线方程使得…………13分．

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题．解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助题设中的的面积为满足的条件建立方程,求得,从而使得问题获解．