Question

已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，分别为棱的中点，．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

(1)证明见解析；(2)．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)依据题设建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式探求．

试题解析：

（1）证明：取的中点，连接，，

则，………………2分

所以且，所以四边形为平行四边形，

所以，………………………………4分

因为，．

所以直线平面；…………………………6分

（2）如图以为坐标原点建立空间右手直角坐标系，所以，，，，，，，……1分

（1）取的中点，所以，

设平面的一个法向量为，因为，，

所以，；所以，…………3分

因为,，所以．……………………5分

因为平面，所以直线平面．……………………7分

（2）设平面的一个法向量为，因为，，

所以，；所以．……………………9分

，…………………………………………11分

因为二面角的大小为锐角，

所以二面角的余弦值为．…………………………………………………12分

考点：线面平行的判定定理及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．