Question

已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，分别在其左、右焦点，在椭圆上任意一点，且的最大值为1，最小值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，直线是与椭圆交于两点的任意一条直线，若，证明直线过定点．

Answer

(1) ；(2)证明见解析．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求．

试题解析：

（1）设椭圆方程为，为椭圆上任意一点，

所以，，所以

，…………………………………………2分

又因为，所以

．……………………4分

因为，所以，因此，所以，

因此，

所以椭圆方程为…………………………6分

（2）①若直线不垂直于轴，设该直线方程为，，

由，得，

化简得，

所以，，…………………………7分

．………8分

因为，所以，

所以，

所以，

去分母得

即．…………………………10分

，所以或，

当时，过定点，显然不满足题意；

当时，过定点．

②若直线垂直于轴，设与轴交于点，由椭圆的对称性可知为等腰直角三角形，所以，化简得，

解得或2（舍），即此时直线也过定点．

综上直线过定点．…………………………13分

考点：向量的数量积公式、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的综合问题．解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程,再借助直线与椭圆的位置关系及为等腰直角三角形建立方程进行探求,从而使得问题获解．