Question

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：．

Answer

(1) 当时，在单调递增，当时，在单调递减，当时，在单调递增，在单调递减；(2)；(3)证明见解析．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用分类整合思想分类讨论；（2）借助题设构设函数,运用导数知识求解；(3)依据题设构设函数,建立不等式运用导数的知识分析推证．

试题解析：

（1）的定义域为，……2分

当时，，故在单调递增；

当时，，故在单调递减；………………4分

当时，令，解得．

则当时，；时，．

故在单调递增，在单调递减．……6分

（2）因为，所以：

当时，恒成立，

令，则，……………………8分

因为，由得，

且当时，；当时，．

所以在上递增，在上递减，所以，

故．…………………………10分

(3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得．

考点：导数的知识分类整合思想及推理论证能力等有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以函数解析式为背景,精心设置了三个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力．本题的第一问是求函数的单调区间,求解时分类对函数求导,分析探求出其单调区间；第二问先分析转化,再构造函数,运用导数的知识使得问题获解；(3)运用已知推证的结论构造不等式,从而使得不等式简捷巧妙获证．