Question

已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若且，已知直线与椭圆交于两点，过点且平行于直线的直线交椭圆于另一点，问：四边形能否程成为平行四边形？若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）1，（Ⅱ），即.

【解析】试题分析: （Ⅰ）根据向量数量积坐标关系得，再根据点在椭圆上，将二元问题转化为一元二次函数，最后根据对称轴及定义区间位置关系确定函数最小值，（Ⅱ）由及点在椭圆上可解出点坐标.由四边形能成为平行四边形可得，由直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理可得弦长,通过解方程可得的值，即直线的方程.

试题解析:【解析】
（Ⅰ）由题意可知，,

点在椭圆上，，即

，且

最小值1.

（Ⅱ）

设.

由得，，

，

，

直线的方程为.

由得，，

，

，

若四边形能成为平行四边形，则，

，解得.

符合条件的直线的方程为，即.

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.