Question

在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.

（Ⅰ）求点的直角坐标；

（Ⅱ）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）17

【解析】试题分析: （Ⅰ）利用加减消元法得普通方程，根据 将极坐标方程化为直角坐标方程，解方程组可得点的直角坐标；（Ⅱ）利用平方关系消参数得普通方程：，根据直线与圆相切得，再根据直线与圆相交，利用韦达定理可得两根之和及两根之积，最后将化为两根之和及两根之积关系，并代入求值.

试题解析:【解析】
（Ⅰ）由曲线可得普通方程.

由曲线可得直角坐标方程：.

由得，

（Ⅱ）曲线（为参数，）消去参数可得普通方程：

，圆的圆心半径为，

曲线与有且只有一个公共点，，即，

设

联立得

.