Question

已知椭圆：的离心率是，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线过右焦点且交椭圆于两点，点是直线上的任意一点，直线的斜率分别为，问是否存在常数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

(Ⅰ) （Ⅱ）.

【解析】试题分析：(Ⅰ)根据条件确定的值，确定椭圆的方程.

（Ⅱ）设出直线的方程与椭圆方程联立，用韦达定理化简，求出的值即可

试题解析：(Ⅰ)，则，

即……2分

又，代入上式中得到，

于是

故椭圆的方程为

（Ⅱ）由(Ⅰ)知的坐标为.设，，.

（1）当直线的斜率不为零时，设的方程为.

联立消去得,.

∴，

∴

.

又∵，∴ .

（2）当直线的斜率为零时，显然有：

∴仍成立.

综上知,存在，使得成立.

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．设出直线方程，联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法.